3.2 Logarithms - 对数

知识点总结与练习题

核心知识点

1. 对数的定义

核心概念 (Core Concept)：如果 \(a^x = n\)（其中 \(a \neq 1\)），那么 \(\log_a n = x\)。这里 \(a\) 称为对数的底数。

  • 对数是指数函数的反函数
  • 底数 \(a\) 必须满足 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)
  • 对数可以取分数值或负值

公式 (Formula)：\(\log_a n = x \Leftrightarrow a^x = n\)

2. 对数的基本性质

定义 (Definition)：对数具有以下基本性质：

  • \(\log_a a = 1\)（任何数的底数为自身时，对数为1）
  • \(\log_a 1 = 0\)（任何底数的1的对数为0）
  • \(\log_a (a^k) = k\)（底数为a的a的k次方的对数为k）

应用场景 (Application)：用于解决指数方程和简化复杂计算。

3. 常用对数

核心方法 (Core Methods)：

  • 常用对数：\(\log_{10}\) 或简写为 \(\log\)
  • 自然对数：\(\ln\)（以e为底的对数）
  • 计算器使用：\(\log\) 按钮计算以10为底的对数
  • 计算器使用：\(\ln\) 按钮计算以e为底的对数

关键词汇表

对数 Logarithm
底数 Base
指数 Exponent
反函数 Inverse Function
常用对数 Common Logarithm
自然对数 Natural Logarithm

例题解析

Example 1: 指数形式转换为对数形式

题目：将 \(3^2 = 9\) 写成对数形式

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：识别底数 \(a = 3\)，指数 \(x = 2\)，结果 \(n = 9\)
  • 步骤2：应用对数定义 \(\log_a n = x\)
  • 步骤3：\(\log_3 9 = 2\)
  • 结论：用语言表达为"9的以3为底的对数是2"

Example 2: 对数形式转换为指数形式

题目：将 \(\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3\) 写成指数形式

解答

解题步骤说明：

  • 步骤1：识别底数 \(a = 2\)，对数 \(x = -3\)，真数 \(n = \frac{1}{8}\)
  • 步骤2：应用指数定义 \(a^x = n\)
  • 步骤3：\(2^{-3} = \frac{1}{8}\)
  • 最终答案：验证 \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\) ✓

Question 1

将以下语句写成对数形式：

a) \(4^4 = 256\)

b) \(3^{-2} = \frac{1}{9}\)

c) \(10^6 = 1000000\)

d) \(11^1 = 11\)

e) \((0.2)^3 = 0.008\)

答题区域：

Question 2

将以下语句用幂的形式重写：

a) \(\log_2 16 = 4\)

b) \(\log_5 25 = 2\)

c) \(\log_9 3 = \frac{1}{2}\)

d) \(\log_5 0.2 = -1\)

e) \(\log_{10} 100000 = 5\)

答题区域：

Question 3

不使用计算器，求以下对数的值：

a) \(\log_2 8\)

b) \(\log_5 25\)

c) \(\log_{10} 10000000\)

d) \(\log_{12} 12\)

e) \(\log_3 729\)

f) \(\log_{10} \sqrt{10}\)

g) \(\log_4 (0.25)\)

h) \(\log_{0.25} 16\)

答题区域：

Question 4

不使用计算器，求满足以下条件的 \(x\) 值：

a) \(\log_5 x = 4\)

b) \(\log_x 81 = 2\)

c) \(\log_7 x = 1\)

d) \(\log_2 (x - 1) = 3\)

e) \(\log_3 (4x + 1) = 4\)

f) \(\log_x (2x) = 2\)

答题区域：

Question 5

使用计算器计算以下对数，保留三位小数：

a) \(\log_9 230\)

b) \(\log_5 33\)

c) \(\log_{10} 1020\)

d) \(\log_e 3\)

答题区域：

答案与解析

Question 1 解析

a) \(\log_4 256 = 4\)

b) \(\log_3 \frac{1}{9} = -2\)

c) \(\log_{10} 1000000 = 6\)

d) \(\log_{11} 11 = 1\)

e) \(\log_{0.2} 0.008 = 3\)

答案：a) \(\log_4 256 = 4\)；b) \(\log_3 \frac{1}{9} = -2\)；c) \(\log_{10} 1000000 = 6\)；d) \(\log_{11} 11 = 1\)；e) \(\log_{0.2} 0.008 = 3\)
Question 2 解析

a) \(2^4 = 16\)

b) \(5^2 = 25\)

c) \(9^{\frac{1}{2}} = 3\)

d) \(5^{-1} = 0.2\)

e) \(10^5 = 100000\)

答案：a) \(2^4 = 16\)；b) \(5^2 = 25\)；c) \(9^{\frac{1}{2}} = 3\)；d) \(5^{-1} = 0.2\)；e) \(10^5 = 100000\)
Question 3 解析

a) \(\log_2 8 = 3\)（因为 \(2^3 = 8\)）

b) \(\log_5 25 = 2\)（因为 \(5^2 = 25\)）

c) \(\log_{10} 10000000 = 7\)（因为 \(10^7 = 10000000\)）

d) \(\log_{12} 12 = 1\)（因为 \(12^1 = 12\)）

e) \(\log_3 729 = 6\)（因为 \(3^6 = 729\)）

f) \(\log_{10} \sqrt{10} = \frac{1}{2}\)（因为 \(10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}\)）

g) \(\log_4 (0.25) = -1\)（因为 \(4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25\)）

h) \(\log_{0.25} 16 = -2\)（因为 \((0.25)^{-2} = 4^2 = 16\)）

答案：a) 3；b) 2；c) 7；d) 1；e) 6；f) \(\frac{1}{2}\)；g) -1；h) -2
Question 4 解析

a) \(\log_5 x = 4 \Rightarrow x = 5^4 = 625\)

b) \(\log_x 81 = 2 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x = 9\)（因为 \(x > 0\)）

c) \(\log_7 x = 1 \Rightarrow x = 7^1 = 7\)

d) \(\log_2 (x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9\)

e) \(\log_3 (4x + 1) = 4 \Rightarrow 4x + 1 = 3^4 = 81 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20\)

f) \(\log_x (2x) = 2 \Rightarrow x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2\)（因为 \(x > 0\)）

答案：a) 625；b) 9；c) 7；d) 9；e) 20；f) 2
Question 5 解析

a) \(\log_9 230 = 2.477\)

b) \(\log_5 33 = 2.172\)

c) \(\log_{10} 1020 = 3.009\)

d) \(\log_e 3 = 1.099\)

答案：a) 2.477；b) 2.172；c) 3.009；d) 1.099